一、题目：

[NOIP2003 普及组] 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，$1,2,\ldots ,n$（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 $n$。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 $n$，计算并输出由操作数序列 $1,2,\ldots,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 $n$（$1 \leq n \leq 18$）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

5

提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

二、思路：

核心：

建立数组f[n]，易得f[0]=1,f[1]=1，（由于k最小为1，f（2）=f(1-1)f(2-1)+f(2-1)f(1-1)，我们至少举出f（1）、f（0）),通过循环依次递推出f（n），如下：

    int f[20] = {0};
    f[0] = 1;
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            f[i] += f[j - 1] * f[i - j];
        }
    }

三、源码：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    int f[20] = {0};
    f[0] = 1;
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            f[i] += f[j - 1] * f[i - j];
        }
    }
    cout << f[n];

    return 0;
}

欢迎改正与补充